exercice dénombrement ptsi

01 - Formalisme, logique élémentaire, ensembles, 47 Probabilités que deux entiers soient premiers entre eux, COURS 1S EXPERIENCE ALEATOIRE ET PROBABILITES 1 16 18, Agrégation interne 2015/2016 Matrices `a coefficients dans un corps, 1 Probabilités-Rappel 2 Union - Intersection, © 2013-2020 studylibfr.com toutes les autres marques commerciales et droits dauteur appartiennent à leurs propriétaires respectifs. 1. Quel est le nombre de tiercés (dans l’ordre) que l’on peut jouer dans une course de 20 chevaux ? Exercice 2. Des formules obtenues par dénombrement6. On note . Exercice 1 Soit . Nombre de tirages possibles. On note le nombre de surjections de dans . car on choisit les moments parmi où l’on rentre les pièces de euros. Déterminer le nombre d’applications strictement croissantes de dans . Question 4Dans cette question, on tire les jetons l’un après l’autre.Quel est le nombre de tirages donnant une alternance de couleurs ? Mots de Dyck. Si , on note .Soient et deux entiers naturels non nuls. Même question si les consonnes doivent être distinctes. Question 4La relation de la question 3 est encore vraie si l’on convient que . Question 1 Quel est le nombre de façons de régler au café une somme de euros en n’ut… Correction : On note l’ensemble des applica- tions vérifiant les conditions de l’énoncé.Une telle application est entièrement définie par sa restriction à et sa restriction à . Exercice 4Quel est le nombre de mains de 4 cartes issues d’un jeu de 32 cartes contenant 2 rois ou 3 trèfles ? Exercices de maths de la PTSI B du lycée Eiffel. 10. un autre formulaire Quel est le nombre de mains contenant 2 as ? Correction : Le nombre de façons d’obtenir une boule blanche puis une rouge puis une verte est égal à .Le nombre de façons d’obtenir un tirage tricolore est égal à (car on a façons de choisir l’ordre de tirage des trois couleurs). Quel est le nombre d’entiers de chiffres contenant un seul et un seul ? car on choisit 2 rois parmi 4 de façons puis 2 cartes parmi les 28 qui restent de façons. car on choisit rois parmi de façons puis cartes parmi les qui restent de façons. ⚠️ Aviez-vous vu que les ensembles ne sont pas disjoints ? Exercice 1Dans cet exercice, on effectue 3 tirages successifs et sans remise dans un ensemble contenant boules blanches, rouges et vertes.a) Quel est le nombre de tirages tricolores ? Question 2Le nombre de couples de parties de telles que est égal à ? Correction : On peut démontrer ce résultat en considérant le nombre de façons de répartir objets identiques dans tiroirs ( est alors le nombre d’objets dans le tiroir ).On note les objets par un et les séparations entre les différents tiroirs par un | .Il s’agit donc de placer les séparations sur places, ce qui se fait en choisissant places parmi donc il y a choix.On termine en utilisant :  . Correction : Le nombre de tiercés (dans l’ordre) que l’on peut jouer dans une course de 20 chevaux est le nombre de 3-listes sans répétition des 20 chevaux soit . Question 1Soit . 96%  de réussite aux concours84% dans le TOP 1099% de recommandation à leurs amis. Il existe donc deux réels et tels que si   : il est plus simple d’utiliser des puissances que des puissances dans les calculs qui suivent car on utilise et pour déterminer et . Correction : On écrit .On a une réunion d’ensembles 2 à 2 disjoints, donc soit . Question 1 Donner les valeurs de et de si . Vous pouvez ajouter ce document à votre ou vos collections d'étude. Question 3Si et ,  déterminer le nombre d’applications strictement croissantes de dans telles que. 8. Les mots de Dyck de longueur 4 sont : et . 4. Le problème a une solution ssi l’on peut choisir les images dans un ensemble de éléments donc ssi ssi .Il y en a . Quel est le nombre de façons de ranger les éléments de de façon à ce que les éléments 1 à soient côte à côte. Il y a façons de placer personnes autour d’une table ronde, 12. Ici seront consignées au fur et à mesure de notre progression les feuilles d'exercices que je vous distribuerai en classe, ainsi que des corrigés de tous les exercices. Soit  où si , est le -uplet tel que les premiers éléments soient des , les suivants soient des , … , et les derniers soient des  ( est une suite croissante de entiers compris entre et ). Vrai ou Faux ? Soit . (Pour les plaintes, utilisez Correction : C’est le nombre de couples de tels que diminué du nombre de couples de qui est égal à . Nhésitez pas à envoyer des suggestions. Montrer que, pour tout entier . Correction : Pour se donner une telle application, on définit une application strictement croissante de dans , il y a applications de ce type et on impose . En utilisant un raisonnement de dénombrement, démontrer la formule de Vandermonde :. 9. Application directe des résultats de cours2. On appelle  » mot de Dyck » une chaîne de caractères, , formée de lettres et lettres , telle que, lorsque l’on dénombre les lettres de gauche à droite, en s’arrêtant à une lettre du mot, le nombre de soit toujours supérieur ou égal au nombre de . est en bijection avec par la question 1. On choisit : il y a façons de le faire.Donc . , on a ainsi écrit une partition de donc . car on doit choisir éléments parmi et éléments parmi . Soit .On définit le -uplet égal à  est une famille croissante de entiers strictement positifs vérifiant : ,donc et . (Q 1) Soient A, B, C trois ensembles finis. Question 2 Le nombre de solutions dans de l’équation est égal à . Le nombre de solutions dans de l’équation est égal à ? Question 2De combien de façons peut-on effectuer ce rangement, si seuls les livres de mathématiques doivent être groupés ? 6. Il a éléments. Application mobile gratuite #1 pour réviser en France, groupe-reussite.fr est évalué 4,8/5 par 600 clients sur. 13. Exercice 2 Soient et trois entiers naturels non nuls avec . Question 4Si  est dans , en déduire la valeur de . Il faut justifier vos résultats. Correction : On choisit 2 as parmi 4 de façons. Puis on choisit 3 cartes parmi les cartes sans as de façons.Le nombre de mains contenant deux as est égal à . On choisit un roi qui n’est pas de trèfle ( choix), deux trèfles différents du roi de façons. Question 1 On prend au hasard () jetons  en même temps.Nombre de tirages donnant des jetons ayant des numéros tous distincts. Correction : C’est l’ensemble .Il a éléments. Un exercice sur les surjections9. Correction : On note l’ensemble des parties de formées de éléments. alors , les ensembles étant 2 à 2 disjoints, . Exercice 9Quel est le nombre de matrices symétriques d’ordre dont tous les éléments sont dans ?   On peut aussi démontrer cette relation ainsi :Par la formule du triangle de Pascal (valable si ), avec , . Télécharge gratuitement PrepApp, Exercice 1Si , démontrer que .par un raisonnement de dénombrement. Question 1Quel est le nombre de façons de régler au café une somme de euros en n’utilisant que des pièces de 1 et 2 euros ? 5. Mots de lettres à partir de et 8. Vous pouvez ajouter ce document à votre liste sauvegardée. Question 3 : Une application Une particule se déplace sur une droite graduée en partant de l’origine et en se déplaçant à chaque minute d’une unité vers la droite ou vers la gauche.Le nombre de façons de revenir pour la première fois à l’instant en est égal à. Les questions suivantes sont plus compliquées Question 4. Le nombre de solutions dans de l’équation est égal à ? Les ensembles sont2 à 2 disjoints. Correction : Le nombre de façons de choisir un groupe de élèves dans une classe de élèves pour faire un exposé est le nombre de parties à éléments parmi soit . car on choisit 3 dames parmi 4 de façons  puis 1 carte parmi les 28 qui restent de façons. est une bijection de sur , l’antécédent de de est le -uplet égal à où est le nombre de dans , avec . .Ces ensembles étant deux à deux disjoints, . (Q 1) Soient A,B,Ctrois ensembles finis. Correction : On note l’ensemble des paiements dans le distributeur pour une somme de euros.Soit . Exercice 2Soit , est le nombre de listes croissantes de éléments de . Correction : On note l’ensemble des solutions entières de cette équation et si l’ensemble des solutions entières telles que . est appelé le -ième nombre de Catalan. ⚠️ Dans tous les exercices ne vous contentez pas d’une valeur numérique. on choisit : il y a façons de le fairedonc . Quel est le nombre de façons de ranger les éléments d’un ensemble. Déterminer le nombre de partitions de en parties. Quel est le nombre de codes d’un antivol à 4 chiffres  choisis entre 1 et 5 ? L’ensemble des forme une partition de . Pour accéder aux cours complets, annales et aux corrigés de tous les exercices Vrai ou Faux ? ssi . On écrit . Le nombre de tirages est égal à où . ,  Il est évident que est une bijection donc . Ainsi, le seul mot de Dyck de longueur est : . Exercice 8On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de physique, et 3 de chimie. Soit un ensemble de cardinal . Question 5Le nombre de couples de parties de telles que est égal à ? Question 3Si , exprimer en fonction de et . Question 1De combien de façons peut-on effectuer ce rangement, si les livres doivent être groupés par matières ? Exercice 3 (suite)Question 2 Déterminer le nombre d’applications strictement croissantes de dans telles que . La somme des cardinaux des parties de est égale à, Exercice 4Soit un ensemble de cardinal . Quel est le nombre de dominos (2 chiffres de à qui peuvent être répétés) ?Quel est le nombre de triominos (3 chiffres de à qui peuvent être répétés aux sommets d’un triangle équilatéral) ? Quel est le nombre de grilles au loto (5 numéros de 1 à 49 et 1 numéro chance de 1 à 10) ? b) Quel est le nombre de tirages bicolores ? Correction : On note l’ensemble des solutions entières de  et l’ensemble des solutions entières de . Question 1Le nombre de couples de parties de  est égal à. car on choisit trèfles parmi de façons puis carte parmi les qui restent de façons. 11. Exercice 3Quel est le nombre de mains de 4 cartes d’un jeu de 32 cartes contenant 2 rois ou 3 dames ? Question 3Le nombre de couples de parties de telles que et est égal à Vrai ou Faux ? Même question si les chiffres doivent être distincts . Question 2Déterminer et donner la réponse sous la forme x,y,z. 2ème méthode : On note l’ensemble des tels que .Si , on définit  avec par télescopage : .Donc . 7. ⚠️ à ne pas confondre avec le nombre de couples de parties de telles que et qui est égal à car c’est le nombre de couples où . Question 2Avec les hypothèses de la question 1, nombre de façons d’avoir obtenu deux jetons portant le même numéro. Correction : On note l’ensemble des solutions entières de cette équationet si l’ensemble des solutions entières telles que .On écrit .Les ensembles sont2 à 2 disjoints. Exercice 1Soit .Question 1 Le nombre de solutions entières de l’équation est égal à . Il est simple de prouver que est injective. C’est l’ensemble des mains contenant le roi de trèfle, un autre roi et autres trèfles. Correction : Soit et , les ensembles étant 2 à 2 disjoints, . Correction : On a une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique : avec et . Si est fixé, on note  , . Si , on introduit l’ensemble des paiements au distributeur où l’on a rentré pièces de 2 euros et pièces de 1 euro. Dans le deuxième cas, c’est le nombre de 4-listes sans répétition des 20 consonnes soit . Ou savez-vous comment améliorerlinterface utilisateur StudyLib? Question 2Le nombre de solutions entières de l’inéquation  est égal à . si ,   par la première question,   et . On détermine d’abord le nombre d’applications strictement croissantes de dans telles que lorsque . 1ère méthode : On note . Dénombrement des involutions10. Se donner un élément de revient à choisir une partie de éléments dans ce qui se fait de façons et à lui ajouter . Question 2Nombre de façons de payer dans un distributeur une somme de euros en n’utilisant que des pièces de 1 et 2 euros. Exercice 7Quel est le nombre de mains de 5 cartes d’un jeu de 32 cartes contenant 1 roi et au moins un pique. Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes? L’ensemble est non vide ssi et  ssi .Les ensembles  forment une partition de . ⚠️ Aviez -vous pensé à écrire que les deux ensembles sont disjoints ? Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI TD 15 Dénombrement Ensembles et cardinal d’un ensemble Exercice 1 : [indications] Le crible. En posant , Par application de l’exercice 1 du § I. Deuxième méthode. Quel est le nombre de façons de choisir un groupes de élèves dans une classe de élèves pour faire un exposé ?a)        b)         c). On suppose que est vraie.Par la formule  Par : par le triangle de Pascal : ce qui prouve . En utilisant la question 2, il y en a . 1. Pour tout , on note l’ensemble des parties de à éléments dont le maximum est égal à . Quel est le nombre d’anagrammes du mot « ENTENTE ». On dit que est une involution de lorsque vérifie .Si , on note  , l’ensemble des involutions de et .Question 1Toute involution est une bijection. Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI TD 15 Dénombrement Ensembles et cardinal d’un ensemble Exercice 1 : [indications] Le crible. ,  Il est évident que est une bijection donc . Correction : On note cet ensemble et si , l’ensemble des couples tels que et . Exercice 2On tire 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Correction : On note l’ensemble des applications strictement croissantes de dans .Se donner une application strictement croissante de dans revient à choisir une partie de à éléments et à la ranger par ordre strictement croissant.Il y a donc applications strictement croissantes de  dans . Exercice 10On dispose de 2 jeux de jetons numérotés de 1 à , l’un blanc, l’autre noir, on les place dans une urne. Correction :  Le nombre de tirages monocolores est égal au nombre de tirages blancs plus le nombre de tirages rouges plus le nombre de tirages verts soit                          . Dans le deuxième cas, c’est le nombre de 4-listes sans répétition des 6 chiffres de 1 à 5  soit. La propriété est démontrée par récurrence. L’utilisation la plus fréquente est dans le cas et on obtient  car . est en bijection avec par la question 1. Si , il est évident que  et que les 2 ensembles sont disjoints. Puis on détermine le nombre d’applications strictement croissantes de dans . Sans urne et sans carte4. Correction : On remarque que la donnée d’une partie non vide et différente de définit une partition  et que . Alors , il suffit d’utiliser le résultat de la question 1 de l’exercice 1, . Combien de mots peut on écrire avec le mot « TOULOUSE » si les consonnes doivent être placées en 1-ère, 4-ème et 7-ème position ? Question 3On tire maintenant les jetons 2 par 2 sans remise. Exercice 2.Soit . Question 2Le nombre de solutions dans de l’équation est égal à . Si , soit l’ensemble des mots formés de lettres ne contenant que les lettres et et tels qu’il n’y ait pas deux consécutifs. Quel est le nombre de mots de passe de 4 lettres formés uniquement de consonnes ? Soit et l’ensemble des mots de Dyck des mots de Dyck de longueur tels que l’on obtienne autant de que de pour la première fois au rang . Des couples de parties de 5. et sont des mots de Dyck, alors que et n’en sont pas.Pour tout entier , on désigne par le nombre de mots de Dyck de lettres. L’application est surjective. Exercice 6Quel est le nombre de mains de 5 cartes d’un jeu de 32 contenant au moins 2 trèfles ? Vrai ou Faux ? Pour déterminer ,  On choisit l’élément commun à et : choix  On choisit les autres éléments de de façons. Le nombre de partitions de en 2 parties est égal à. 2. Correction : On note l’ensemble des éléments de qui se terminent par donc qui se terminent par et l’ensemble des éléments de qui se terminent par .

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